Quotients premiers deOq(m n(k))

Quotients premiers deOq(m n(k))

JOURNAL OF ALGEBRA ARTICLE NO. 180, 530]545 Ž1996. 0081 Quotients premiers de Oq Ž m nŽ k .. G. Cauchon Laboratoire d’Equations aux Deri ´ ¨ ´ees P...

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JOURNAL OF ALGEBRA ARTICLE NO.

180, 530]545 Ž1996.

0081

Quotients premiers de Oq Ž m nŽ k .. G. Cauchon Laboratoire d’Equations aux Deri ´ ¨ ´ees Partielles et Physique Mathematique, ´ URA 1870, UFR Sciences, B.P. 347, 51062 Reims Cedex, France Communicated by J. T. Stafford Received December 9, 1994

Consider a field k, some nonzero element q of k which is not a root of unity, and some nonnegative integer n. K. R. Goodearl and E. S. Letzter have proved Ž1991, Prime factor algebras of the coordinate ring of quantum matrices, preprint. that any prime factor algebra of the coordinate ring Oq Ž m nŽ k .. of quantum n = n matrices over k is a domain. In that paper it is proved that the division ring of fractions of such a domain is always isomorphic to the division ring of fractions of the coordinate ring of some quantum space of dimension at most n2 over some field K which is an extension of k. A similar result is also proved for quantum Weyl algebras. Q 1996 Academic Press, Inc.

INTRODUCTION Dans tout ce papier, k designe un corps commutatif, n un entier positif ´ strictement, et q un ´ element non nul de k. Si q n’est pas une racine de ´ l’unite et si P est un ideal premier de l’anneau R s Oq Ž m nŽ k .., on sait w3x ´ ´ que P est completement premier, et on montre Žth. III 3.2.1. que le corps ` de fractions F de l’anneau integre RrP est isomorphe au ` et noetherien ´ corps de fractions d’un espace quantique de la forme K Q w Y1 , . . . , Ym x, de dimension m F n2 , de corps de base K un corps commutatif extension de les regles de commutak, et dont la matrice Q s Ž u i j .1 F i, jF m qui definit ´ ´ tion des Yt Ž1 F t F m. est ` a coefficients dans le groupe multiplicatif ² q : engendre un theoreme ´ par q. Ceci generalise ´ ´ ´ ` de G. Cliff w2x. On montre ´ egalement ŽTh. II.2.1. un resultat analogue pour les algebres ´ ` GŽ . de Weyl quantiques Aq, k dans le cas generique ou le sous-groupe ´ ´ ` n 530 0021-8693r96 $18.00 Copyright Q 1996 by Academic Press, Inc. All rights of reproduction in any form reserved.

QUOTIENTS PREMIERS DE

Oq Ž m nŽ k ..

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multiplicatif de k _  04 engendre ´ par les coefficients des matrices q et G est sans torsion. Ceci generalise un theoreme ´ ´ ´ ` de J. Alev et F. Dumas w1x.

I. ESPACES QUANTIQUES MULTIPARAMETRES Soit un entier n G 1 et L s Ž l i j .1 F i, coefficients dans k _  04 verifiant ´

li , i s 1

jF n

une matrice carree ´ d’ordre n `a

pour 1 F i F n,

Ž Q1 .

l j, i s ly1 pour 1 F i , j F n. i, j

Ž Q2 .

On associe ` a la matrice L l’espace quantique multiparametre ´ ´ Rs kL w X 1 , . . . , X n x qui est la k-algebre associative unitaire engendree ` ´ par les indeterminees ´ ´ X1 , . . . , X n soumises aux relations Xi X j s li , j X j Xi

pour 1 F i , j F n.

On sait w7x qu’il s’agit d’un anneau integre et noetherien. On note ` ´ kLŽ X 1 , . . . , X n . son corps de fractions THEOREME I.1 w3x. Supposons que le sous-groupe multiplicatif V de ´ `  4 k _ 0 engendre´ par les l i, j Ž1 F i, j F n. soit sans torsion, et considerons ´ un ideal ´ premier P de R s kL w X1 , . . . , X n x. Alors Ž1. P est completement premier, de sorte que l’anneau RrP est integre ´ ` et noetherien. Notons FracŽ RrP . son corps de fractions. ´ Ž2. Ou bien FracŽ RrP . est un corps commutatif extension de k, ou bien FracŽ RrP . , K Q Ž Y1 , . . . , Ym . ou ` K est un corps commutatif extension de k, m un entier entre 1 et n, et Q s Ž u i, j .1 F i, jF m une matrice carree ´ d’ordre m, a ` coefficients u i j dans V, et qui ¨ ´erifie les conditions Ž Q1. et Ž Q2. ci-dessus. Demonstration. Par w3x Žpreuve du theoreme 2.1., si RrP n’est pas ´ ´ ` commutatif, il existe K, m, Q comme ci-dessus, et un anneau A intermedi´ aire entre RrP et FracŽ RrP ., tels que A , K Q w Y1" 1 , . . . , Ym" 1 x s Sy1 K Q w Y1 , . . . , Ym x ou le systeme ` S designe ´ ` multiplicatif de K Q w Y1 , . . . , Ym x engendre ´ par les Yi . On a donc

Frac

R

ž / P

s Frac Ž A . , Frac Ž K Q Y1" 1 , . . . , Ym" 1

. s K Q Ž Y1 , . . . , Ym . .

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G. CAUCHON

II. ALGEBRES DE WEYL QUANTIQUES Soit un entier n G 1, q s Ž q1 , . . . , qn . une suite de n ´ elements de k, tous ´ differents de 0 et de 1, et G s Žg i, j .1 F i- jF n , une famille de nŽ n y 1.r2 ´ non nuls de k. ´elements ´ GŽ . w x L’algebre de Weyl quantique A q, k 6 est la k-algebre associative ` ` n unitaire engendree X 1 , . . . , X n , Y1 , . . . , Yn ´ par les 2 n indeterminees ´ ´ soumises aux relations de commutation ci-dessous pour 1 F i - j F n:

¡Y Y s g i

j

i , j Yj Yi

X i X j s qi g i j X j X i

~X Y s g i j

y1 i , j Yj

Xi

X j Yi s qi g i , j Yi X j

¢X Y s 1 q j j

Ý Ž qi y 1. Yi X i q q j Yj X j . 1Fi-j

Pour 1 F j F n, posons Z j s X j Yj y Yj X j s 1 q

Ý Ž qi y 1. Yi X i .

Ž 1.

1FiFj

On sait w4x que: PROPOSITION II.1. Ž1. Les Z j commutent entre eux. Ž2. Si 1 F i F j F n, on a: Z j Yi s qi Yi Z j et Z j X i s qy1 i Xi Zj. Ž3. Si 1 F j - i F n, on a: Z j Yi s Yi Z j et Z j X i s X i Z j . II.1. Ideaux ´ premiers de Aq,n G Ž k . GŽ . Pour 0 F j F n, notons A j la sous-algebre de A q, k engendree ` ´ par n G Ž .. w x X 1 , . . . , X j et Y1 , . . . , Yj Ž A 0 s k, A n s A q, k . On a 4 : n

PROPOSITION II.1.1 Ž1 F j F n..

A j s A jy1 w Yj ; a xw X j ; b , d x ou `

Ž1. a est le k-automorphisme de A jy1 defini ´ par: a Ž Yi . s gy1 i, j Yi et a Ž X i . s g i, j X i pour 1 F i - j. Ž2. b est le k-automorphisme de A jy1w Yj ; a x defini ´ par b Ž Yi . s qi g i, j Yi y1 Ž . et b Ž X i . s qy1 g X pour 1 F i j, et b Y s q i i, j i j j Yj . Ž3. d est la b-deri par: ´ ¨ ation de A jy1w Yj ; a x nulle sur k et definie ´ d Ž Yi . s d Ž X i . s 0 pour 1 F i - j, et d Ž Yj . s 1 q Ý1 F i- j Ž qi y 1.Yi X i . Observons que d 9 s bdby1 est alors une b-derivation de A jy1w Yj ; a x, ´ Ž . Ž . nulle sur k et verifiant: d 9 Y s d 9 X s 0 pour 1 F i j et d 9Ž Yj . s ´ i i

QUOTIENTS PREMIERS DE

Oq Ž m nŽ k ..

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y1 Ž y1 Ž . . Ž . . bd Ž qy1 j Yj s q j b 1 q Ý1 F i - j q i y 1 Yi X i s q j d Yj . On a donc y1 y1 bdb s q j d , soit db s q j bd . On en deduit par w3, th. 2.3x: ´

PROPOSITION II.1.2. Supposons que le sous-groupe multiplicatif de k _  04 engendre´ par les g i, j Ž1 F i - j F n. et les qi Ž1 F i F n. soit sans torsion. Alors, tous les ideaux premiers. ´ premiers de Aq,n G Ž k . sont completement ` GŽ . II.2. Quotients premiers de Aq, k n

Plac¸ons nous dans les hypotheses ` de la proposition II.1.2, et considerons ´ un ideal ´ premier P de Aq,n G Ž k .. GŽ . Alors A q, k rP est un anneau integre. Il est noetherien puisque ` ´ n q, G Ž . A n k est une extension de Ore iteree ´ ´ de k Žprop. II.1.1.. Il admet donc un corps de fractions qui peut ˆ etre decrit ´ comme suit: THEOREME ´ ` II.2.1. Supposons que le sous-groupe multiplicatif V de k _ 04 engendre´ par les g i, j Ž1 F i - j F n. et les qi Ž1 F i F n. soit sans torsion, et considerons un ideal ´ ´ premier P de Aq,n G Ž k .. GŽ . Alors, ou bien FracŽ A q, k rP . est un corps commutatif extension de k, n ou bien il est isomorphe a un ` corps gauche de la forme K Q ŽT1 , . . . , Tm . ou` K est un corps commutatif extension de k, m un entier entre 1 et 2 n, et Q s Ž u i, j .1 F i, jF m une matrice carree ´ d’ordre m a` coefficients u i j dans V, et ¨´ erifiant les conditions Ž Q1. et Ž Q2. du I. GŽ . Demonstration. Posons A s Aq, k , R s ArP, F s FracŽ R ., notons ´ n w : A ª R l’homomorphisme canonique et posons, pour 1 F i F n, x i s w Ž X i ., yi s w Ž Yi ., z i s w Ž Zi .. Pour chaque i entre 1 et n, on choisit un Ui Žde A. dans l’ensemble  X i , Yi 4 de maniere ´element ´ ` que

Si  X i , Yi 4 o P ,

alors Ui f P.

Ž H.

Posons, pour 1 F i F n, u i s w ŽUi .. Par la definition de l’algebre As ´ ` et la proposition II.1, il existe une matrice L s Ž l i, j .1 F i, jF 2 n carree les conditions ŽQ1. et ´ d’ordre 2 n `a coefficients dans V, verifiant ´ ŽQ2. du I, telle que la famille Ž V1 , . . . , V2 n . s Ž Z1 , . . . , Zn , U1 , . . . , Un . de A2 n verifie Vi Vj s l i, j Vj Vi pour 1 F i, j F 2 n. On en deduit, en transfor´ ´ mant par w , que la famille Ž ¨ 1 , . . . , ¨ 2 n . s Ž z1 , . . . , z n , u1 , . . . , u n . de R 2 n verifie ¨ i ¨ j s l i, j ¨ j ¨ i pour 1 F i, j F 2 n. ´ Il existe donc un homomorphisme de k-algebres C: B s kL w W1 , ` x Ž . . . . ,W2 n ª R qui transforme la famille W1 , . . . , W2 n en la famille Ž z1 , . . . , z n , u1 , . . . , u n .. Soit R9 son image et P9 son noyau. Comme R est integre, il ` en est de meme premier ˆ pour R9. Par suite, P9 est un ideal ´ completement ` de B. Par le theoreme ´ ` I.1, R9 , BrP9, possede ` un corps de fractions F9 qui est, ou bien un corps commutatif extension de k, ou bien isomorphe ` a GŽ . A q, k n

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G. CAUCHON

un corps gauche de la forme K Q ŽT1 , . . . , Tm . ou ` K, m et Q sont definis ´ comme dans l’enonce ´ ´ du theoreme ´ ` `a demontrer. ´ Comme R9 ; R, on a F9 ; F. Il nous suffit donc de montrer que F9 s F et, pour cela, que F9 > R, c’est-a-dire que F9 >  x 1 , . . . , ` x n , y 1 , . . . , yn4 . Soit un entier j entre 1 et n. Supposons demontre ´ ´ que, pour 1 F i - j, F9 contient x i et yi , et montrons que F9 contient alors x j et y j . Par construction, F9 contient u j g  x j , y j 4 . Si u j s 0, alors Uj g P, donc, par l’hypothese ` ŽH.,  X j , Yj 4 ; P, et donc x j s y j s 0 g F9. Supposons u j / 0. On a, par construction de F9, z j s 1 q Ý1 F iF j Ž qi y 1. yi x i g F9. Puisque F9 contient x i et yi pour 1 F i - j, on a v s Ž q j y 1. y j x j g F9. Si u j s x j , on a y j s Ž q j y 1.y1v uy1 g F9 et, si u j s y j , j on a x j s Ž q j y 1.y1 uy1 ` la demonstration. ´ j v g F9, ce qui acheve

III. L’ALGEBRE Oq Ž m nŽ k .. Dans tout ce paragraphe, q designe un ´ element non nul de k et n un ´ ´  entier superieur ou egal a 1. On munit l’ensemble 1, . . . , n4 =  1, . . . , n4 de ´ ´ ` l’ordre lexicographique defini par: ´

Ž Ž i , j . F Ž k, l . . m Ž Ž i - k . ou Ž i s k et j F l . . .

III.1. Matrices q-quantiques Soit A une k-algebre associative unitaire et M s Ž x i j .1 F i, ` matrice carree ´ d’ordre n `a coefficients dans A.

jF n

une

D´ EFINITION III.1.1 w8x. M est une matrice q-quantique si ses coefficients verifient les relations de commutation ci-dessous: Soient Ž i, j . et ´ Ž k, l . deux ´ elements de  1, . . . , n4 =  1, . . . , n4 avec Ž i, j . - Ž k, l .. ´ Ža. Si x i, j est ` a gauche ou au-dessus de x k l Žcad si Ž i s k et j - l . ou Ž i - k et j s l .., alors x k, l x i, j s qx i, j x k l . Žb. Si x i, j est au nord-est de x k, l Žcad si i - k et j ) l ., alors x k, l x i, j s x i, j x k, l . Žc. Si x i, j est au nord-ouest de x k, l Žcad si i - k et j - l . alors x k, l x i, j s x i, j x k, l q Ž q y qy1 . x i, l x k, j . D´ EFINITION III.1.2. M est une matrice q-quantique simplifiee ´ si ses coefficients verifient les memes conditions Ža. et Žb. que dans la definition ´ ˆ ´ III.1.1, la condition Žc. ´ etant remplacee ´ par: Žd. Si x i, j est au nord-ouest de x k, l , alors x k, l x i, j s x i, j x k, l .

Oq Ž m nŽ k ..

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D´ EFINITION III.1.3. Soit Ž s, t . g  1, . . . , n4 =  1, . . . , n4 . M est une matrice Ž s, t .-q-quantique si ses coefficients verifent les conditions Ža., Žb. et: ´ Žc. si Ž k, l . F Ž s, t . Žd. si Ž k, l . ) Ž s, t .. Obser¨ ation III.1.4. Si la matrice M est q-quantique, elle est Ž n, n.-qquantique. Si Ž s, t . F Ž2, 1., dire que M est Ž s, t .-q-quantique ´ equivaut ` a dire qu’elle est q-quantique simplifiee. ´ D´ EFINITION III.1.5 w8x. L’algebre ` Oq Ž m nŽ k .. est la k-algebre ` associative 2 unitaire engendree ´ par n indeterminees ´ ´ X i j Ž1 F i, j F n. soumises aux relations imposees que la matrice X s Ž X i j .1 F i, jF n est q´ en decidant ´ quantique. On sait w3x que Oq Ž m nŽ k .. est une extension de Ore iteree ´ ´ de k. C’est donc un anneau noetherien et integre. On a, de plus w3, th. 3.2x: ´ ` THEOREME ´ ` III.1.6. Si q n’est pas une racine de l’unite, ´ alors tous les ideaux premiers. ´ premiers de Oq Ž m nŽ k .. sont completement ` Par suite, si q n’est pas une racine de l’unite ´ et si P est un ideal ´ premier de Oq Ž m nŽ k .., l’anneau quotient Oq Ž m nŽ k ..rP est noetherien et integre. ´ ` On se propose de montrer que, comme dans les paragraphes I et II, son corps de fractions est isomorphe au corps de fractions d’un espace quantique multiparametre. ´ ´ III.2. Simplification des matrices q-quantiques Soit F un corps gauche dont le centre est une extension de k. Soit M s Ž x i j .1 F i, jF n une matrice carree ´ d’ordre n `a coefficients dans F. D´ EFINITION III.2.1. On appelle q-determinant de M, l’element de F ´ ´´ defini par: det q Ž m. s Ýs g S nŽyq . lŽ s . x 1, s Ž1. ??? x n, s Ž n. , ou le ´ ` Sn designe ´ groupe des permutations de  1, . . . , n4 et, si s g Sn , l Ž s . designe ´ le nombre d’inversions de s . III.2.1. Simplification des matrices 2 = 2 Soit Ms

ž

x1 y1

x2 y2

/

une matrice carree ´ d’ordre 2 `a coefficients dans F. LEMME III.2.1.1. Supposons que M soit Ž2, 2.-q-quantique et que y 2 soit non nul. Considerons la matrice ´ Ns

ž

xX1 y1

x2 y2

/

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G. CAUCHON

ou ` xX1 s det qy1

ž

x1 y1

x 2 y1 y s x 1 y qy1 x 2 y 1 yy1 2 . y2 2

/

Alors N est Ž2, 1.-q-quantique. Demonstration. Les seules relations de commutation ` a demontrer sont ´ ´ Ž1. Ž2. Ž3.

y 2 xX1 s xX1 y 2 y 1 xX1 s qxX1 y 1 x 2 xX1 s qxX1 x 2 .

Ž1.. On a Comme Ž2. et Ž3. sont immediates, il suffit de verifier ´ ´ y1 . Ž y 2 xX1 s y 2 x 1 y qy1 y 2 x 2 y 1 yy1 x 2 y 1 y qx 2 y 1 s Ž x 1 y 2 s x1 y2 q q y q . y 2 s xX1 y 2 , ce qui acheve qy1 x 2 y 1 yy1 ` la demonstration. ´ 2 III.2.2. Simplification des matrices 3 = 3 Soit Ms



x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

0

une matrice carree ´ d’ordre 3 `a coefficients dans F. LEMME III.2.2.1. Supposons que M soit Ž3, 3.-q-quantique et que z 3 soit non nul. Considerons la matrice ´ xX1 yX1 z1

xX2 yX2 z2

x3 y3 z3

Ns



0

x1 z1

x 3 y1 z s x 1 y qy1 x 3 z1 zy1 3 , z3 3

x2 z2

x 3 y1 z s x 2 y qy1 x 3 z 2 zy1 3 , z3 3

y1 z1

y 3 y1 z s y 1 y qy1 y 3 z1 zy1 3 , z3 3

y2 z2

y 3 y1 z s y 2 y qy1 y 3 z 2 zy1 3 . z3 3

ou ` xX1 s det qy1 xX2 s det qy1 yX1 s det qy1 yX2 s det qy1

ž ž ž ž

Alors N est Ž3, 2.-q-quantique.

/ / / /

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Demonstration. Les relations ` a demontrer sont ´ ´ Ž1. Ž2. Ž3. Ž4. Ž5. Ž6. Ž7. Ž8. Ž9. Ž10. Ž11. Ž12. Ž13. Ž14. Ž15.

z 3 commute avec xX1 , xX2 , yX1 , yX2 . z 2 q-commute avec xX2 et yX2 Žcad: z 2 xX2 s qxX2 z 2 et z 2 yX2 s qyX2 z 2 .. z 2 xX1 s xX1 z 2 q Ž q y qy1 . xX2 z1 et z 2 yX1 s yX1 z 2 q Ž q y qy1 . yX2 z1. z1 commute avec xX2 et yX2 . z1 q-commute avec xX1 et yX1. y 3 q-commute avec yX1 et yX2 . y 3 xX1 s xX1 y 3 q Ž q y qy1 . x 3 yX1 et y 3 xX2 s xX2 y 3 q Ž q y qy1 . x 3 yX2 . yX2 commute avec x 3 . yX2 q-commute avec yX1 et xX2 . yX2 xX1 s xX1 yX2 q Ž q y qy1 . xX2 yX1. yX1 commute avec x 3 . yX1 commute avec xX2 . yX1 q-commute avec xX1. x 3 q-commute avec xX1 et xX2 . xX2 q-commute avec xX1.

La relation Ž1. resulte de l’egalite de ´ ´ ´ Ž1. du lemme III.2.1.1, Ž2. resulte ´ Ž . Ž . l’egalite 2 du lemme III.2.1.1. Montrons la premiere des 2 egalites 3 . ´ ´ ` ´ ´ On a y1 z 2 xX1 s z 2 x 1 y qy1 z 2 x 3 z1 zy1 . x 2 z1 y x 3 z1 z 2 zy1 3 s x1 z2 q Ž q y q 3 ,

et y2 x 3 z1 z 2 zy1 xX1 z 2 s x 1 z 2 y qy1 x 3 z1 zy1 3 z2 s x1 z2 y q 3 ,

d’ou: ` z 2 xX1 y xX1 z 2 s Ž q y qy1 . x 2 z1 q Ž qy2 y 1 . x 3 z1 z 2 zy1 3 s Ž q y qy1 . Ž x 2 z1 y qy1 x 3 z1 z 2 zy1 3 . y1 s Ž q y qy1 . Ž x 2 z1 y qy1 x 3 z 2 zy1 . xX2 z1 . 3 z1 . s Ž q y q

La deuxieme ` ´egalite´ se montre de la meme ˆ maniere. ` La relation Ž4. provient de ce que z1 commute avec x 2 , x 3 , y 2 , y 3 , ainsi Ž . ´ qu’avec z 2 zy1 de l’egalite de ´ ´ Ž2. du lemme III.2.1.1, Ž6. resulte ´ 3 , 5 resulte Ž . l’egalite ´ ´ 3 du lemme III.2.1.1. Montrons la premiere ` des deux ´egalites ´ Ž7..

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G. CAUCHON

On a y1 y 3 xX1 s y 3 x 1 y qy1 y 3 x 3 z1 zy1 . x 3 y1 y x 3 y 3 z1 zy1 3 s x1 y3 q Ž q y q 3

et y2 xX1 y 3 s x 1 y 3 y qy1 x 3 z1 zy1 x 3 y 3 z1 zy1 3 y3 s x1 y3 y q 3 ,

d’ou: ` y 3 xX1 y xX1 y 3 s Ž q y qy1 . x 3 y 1 q Ž qy2 y 1 . x 3 y 3 z1 zy1 3 y1 s Ž q y qy1 . Ž x 3 y 1 y qy1 x 3 y 3 z1 zy1 . x 3 yX1 . 3 . s Žq y q

La deuxieme de la meme ` ´egalite´ se demontre ´ ˆ maniere. ` La relation Ž8. resulte de ce que x commute avec y 2 , z 2 et y 3 zy1 ´ 3 3 . x On sait par w5, theoreme 3.10 que la matrice ´ `



det qy1 det qy1

ž ž

x1 z1

x3 z3

y1 z1

y3 z3

/ /

det qy 1 det qy 1

ž ž

x2 z2

x3 z3

y2 z2

y3 z3

/ ž /

0

s

xX1 z 3 yX1 z 3

xX2 z 3 yX2 z 3

/

est q-quantique. On en deduit, compte tenu de Ž1., les ´ egalites ´ ´ Ž9., Ž10., Ž12., Ž13. et Ž15.. La relation Ž11. resulte de ce que x 3 commute avec y 1 , z1 ´ Ž . ´ et y 3 zy1 de ce que x 3 q-commute avec x 1 , z1 zy1 3 , et 14 resulte 3 , x 2 et y1 z2 z3 . LEMMA III.2.2.2. Supposons que M soit Ž3, 2.-q-quantique et que z 2 soit non nul. Considerons la matrice ´



Ns

xX1 yX1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

0

ou ` xX1 s det qy1 yX1 s det qy1

ž ž

x1 z1

x 2 y1 z s x 1 y qy1 x 2 z1 zy1 2 z2 2

y1 z1

y 2 y1 z s y 1 y qy1 y 2 z1 zy1 2 . z2 2

Alors N est Ž3, 1.-q-quantique.

/ /

et

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Demonstration. Les relations ` a demontrer sont: ´ ´ Ž1. Ž2. Ž3. Ž4. Ž5. Ž6. Ž7. Ž8. Ž9. Ž10.

z 3 commute avec xX1 et yX1. z 2 commute avec xX1 et yX1. z1 q-commute avec xX1 et yX1. y 3 q-commute avec yX1. y 3 xX1 s xX1 y 3 q Ž q y qy1 . x 3 yX1. y 2 q-commute avec yX1. y 2 xX1 s xX1 y 2 q Ž q y qy1 . x 2 yX1. yX1 commute avec x 2 et x 3 . yX1 q-commute avec xX1. x 3 et x 2 q-commutent avec xX1.

La relation Ž1. resulte de ce que z 3 commute avec x 1 , x 2 , y 1 , y 2 et ´ Ž . ´ z1 zy1 de la propriete de la ´ ´ Ž1. du lemme III.2.2.1, Ž3. resulte ´ 2 , 2 resulte Ž . propriete de ce que y 3 q-commute avec ´ ´ 2 du lemme III.2.2.1, Ž4. resulte ´ y 1 , y 2 et commute avec z1 , z 2 . On a y 3 xX1 s y 3 Ž x 1 y qy1 x 2 z1 zy1 2 . s x 1 y 3 q Ž q y qy1 . x 3 y 1 y qy1 Ž x 2 y 3 q Ž q y qy1 . x 3 y 2 . z1 zy1 2 y2 s x 1 y 3 q Ž q y qy1 . x 3 y 1 y qy1 x 2 y 3 z1 zy1 y 1 . x 3 y 2 z1 zy1 2 q Žq 2 .

De meme, ˆ y1 xX1 y 3 s Ž x 1 y qy1 x 2 z1 zy1 x 2 y 3 z1 zy1 2 . y 3s x 1 y 3 y q 2 y1 « y 3 xX1 y xX1 y 3 s Ž q y qy1 . Ž x 3 y 1 y qy1 x 3 y 2 z1 zy1 . x 3 yX1 , 2 . s Žq y q

Ž5.. ce qui demontre ´ La relation Ž6. resulte de la propriete ´ ´ ´ Ž6. du lemme III.2.2.1, Ž7. resulte ´ de la deuxieme ` ´egalite´ de la propriete ´ ´ Ž7. du lemme III.2.2.1. x 3 commute avec y 1 , y 2 , z1 , z 2 donc avec yX1. x 2 commute avec yX1 par la propriete ´ ´ Ž8. du lemme III.2.2.1. D’ou ´ la relation Ž8.. La relation Ž9. resulte de la propriete ´ ´ ´ Ž9. du lemme III.2.2.1. x 3 q-commute avec x 1 , x 2 et commute avec z1 , z 2 . Donc x 3 q-commute avec xX1. x 2 q-commute avec xX1 par la propriete ´ ´ Ž14. du lemma III.2.2.1. D’ou ´ la relation Ž10.. LEMMA III.2.2.3. quantique.

Si M est Ž3, 1.-q-quantique, elle est aussi Ž2, 3.-q-

540

G. CAUCHON

Demonstration. C’est ´ evident car il n’existe aucun coefficient de M au ´ nord-ouest de z1. LEMME III.2.2.4. Supposons que M soit Ž2, 3.-q-quantique et que y 3 soit non nul. Considerons la matrice ´



Ns

xX1 y1 z1

xX2 y2 z2

x3 y3 z3

0

ou ` xX1 s det qy1 xX2 s det qy1

ž ž

x1 y1

x 3 y1 y s x 1 y qy1 x 3 y 1 yy1 3 y3 3

x2 y2

x 3 y1 y s x 2 y qy1 x 3 y 2 yy1 3 . y3 3

/ /

et

Alors N est Ž2, 2.-q-quantique. Demonstration. Les relations ` a demontrer sont: ´ ´ Ž1. Ž2. Ž3. Ž4. Ž5. Ž6. Ž7. Ž8. Ž9.

z 3 commute avec xX1 et xX2 . z 2 q-commute avec xX2 et commute avec xX1. z1 commute avec xX2 et q-commute avec xX1. y 3 commute avec xX2 et xX1. y 2 q-commute avec xX2 . y 2 xX1 s xX1 y 2 q Ž q y qy1 . xX2 y 1. y 1 commute avec xX2 et q-commute avec xX1. x 3 q-commute avec xX1 et xX2 . xX2 q-commute avec xX1.

La relation Ž1. resulte de ce que z 3 commute avec x 1 , x 2 , y 1 , y 2 et ´ x 3 yy1 . z q-commute avec x 2 , y 2 et commute avec x 3 , y 3 . Donc z 2 3 2 q-commute avec xX2 . z 2 commute avec x 1 , y 1 , x 3 , y 3 . Donc z 2 commute Ž2.. z1 commute avec x 2 , x 3 , y 2 , y 3 donc avec avec xX1 , ce qui demontre ´ xX2 ? z1 q-commute avec x 1 , y 1 et commute avec x 3 , y 3 . Donc z1 q-commute Ž3.. avec xX1 , ce qui demontre ´ Les relations Ž4. ] Ž9. resultent des regles de commutation ´ etablies pour ` ` les coefficients des deux dernieres lignes de la matrice N du lemme ` III.2.2.1.

QUOTIENTS PREMIERS DE

Oq Ž m nŽ k ..

541

LEMME III.2.2.5. Supposons que M soit Ž2, 2.-q-quantique et que y 2 soit non nul. Considerons la matrice ´ xX1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

Ns



0

x1 y1

x 2 y1 y s x 1 y qy1 x 2 y 1 yy1 2 . y2 2

ou ` xX1 s det qy1

ž

/

Alors N est Ž2, 1.-q-quantique. Demonstration. Les relations ` a demontrer sont: ´ ´ Ž1. Ž2.

y 2 , y 3 , z 2 , z 3 commutent avec xX1. x 2 , x 3 , y 1 , z1 q-commutent avec xX1.

Les regles de commutation ` a demontrer concernant x 2 , x 3 , y 1 , y 2 , y 3 se ` ´ deduisent des regles de commutation ´ etablies pour les coefficients des 2 ´ ´ dernieres ` lignes de la matrice N du lemme III.2.2.2. z 3 commute avec x 1 , x 2 , y 1 , y 2 et donc avec xX1. z 2 commute avec x 1 , y 1 et x 2 yy1 2 . Donc z 2 commute avec xX1. z1 commute avec x 2 , y 2 et q-commute avec x 1 , y 1. Donc z1 q-commute avec xX1. III.2.3. Simplification des matrices n = n CONVENTION. Etant donne ´ un entier n G 1 et un couple Ž s, t . g  1, . . . , n4 =  1, . . . , n4 , on note fŽ n, s, t . l’application qui, ` a toute matrice M s Ž x i, j .1 F i, jF n , carree ´ d’ordre n `a coefficients dans F, associe la matrice: N s fŽ n, s, t .Ž M . s Ž yi, j .1 F i, jF n , carree ´ d’ordre n `a coefficients dans F definie par: ´ Ž1. Si x s, t s 0, alors N s M. Ž2. Supposons x s, t / 0 et soit Ž i, j . g  1, . . . , n4 =  1, . . . , n4 . Si x i, j n’est pas au nord-ouest de x s, t Žcad si i G s ou j G t ., alors yi, j s x i, j . Si x i, j est au nord-ouest de x s, t Žcad si i - s et j - t ., alors: v

v

yi , j s det qy1

ž

xi, j x s, j

x i , t y1 x . x s, t s, t

/

542

G. CAUCHON

PROPOSITION III.2.3.1. Choisissons n, s, t, M comme ci-dessus et supposons que M soit Ž s, t .-q-quantique. Supposons Ž s, t . ) Ž1, 1. et soit Ž s9, t9. le plus grand ´´ element de  1, . . . , n4 =  1, . . . , n4 tel que Ž s9, t9. - Ž s, t .. Alors N s fŽ n, s, t .Ž M . est Ž s9, t9.-q-quantique. Demonstration. Posons, comme ci-dessus, M s Ž x i, j .1 F i, jF n et N s ´ Ž yi, j .1 F i, jF n . Soient yi, j et y k, l deux coefficients de N tels que yi, j precede ´ ` strictement y k, l dans N Žcad Ž i, j . - Ž k, l ... Nous devons demontrer que yi, j et y k, l verifient les regles de commuta´ ´ ´ . tion Ža., Žb. ou Žc. Ždef. III.1.1 lorsque y precede strictement ys, t Žcad ´ ´` k, l Ž k, l . - Ž s, t .., et les regles Ž . Ž . Ž . Ž de commutation a , b ou d def. ´ ´ III.1.2. Ž Ž . Ž .. lorsque ys, t precede y cad. s, t F k, l . ´` k, l 1er cas x s, t s 0. On a alors yi, j s x i, j et y k, l s x k, l . Puisque la matrice M est Ž s, t .-q-quantique, il suffit de verifier que x i, j ´ et x k, l verifient les relations de commutation Ža., Žb. ou Žd. lorsque ´ Ž k, l . s Ž s, t .. Seule la condition Žd. n’etant pas supposee ´ ´ satisfaite par hypothese, ` nous devons montrer que, si x i, j est au nord-ouest de x k, l , on a x k, l x i, j s x i, j x k, l , ce qui est ´ evident puisque x k, l s x s, t s 0. 2eme ` cas x s, t / 0. Les lemmes III.2.1.1, III.2.2.1, III.2.2.2, III.2.2.3, III.2.2.4 et III.2.2.5 et l’observation III.1.4 montrent que la propriete ` ´ `a demontrer est vraie pour n F 3. ´ Supposons n G 4 et la propriete vraie pour les matrices ´ ´ `a demontrer ´ d’ordre n y 1. Soit M9 la matrice carree de M par suppression ´ d’ordre n y 1 deduite ´ d’une ligne autre que les lignes i, k, s et par suppression d’une colonne autre que les colonnes j, l, t. Soit N9 la matrice carree de N par suppression de la meme ´ deduite ´ ˆ ligne et la meme colonne que ci-dessus. ˆ Supposons que l’element x s, t soit sur la ligne u et la colonne ¨ de M9 ´´ Ž u s s ou s y 1, ¨ s t ou t y 1.. Alors ys, t est sur la ligne u et la colonne ¨ de N9 et on a immediate´ ment: Ž1. La matrice M9 est Ž u, ¨ .-q-quantique. Ž2. N9 s fŽ ny1, u, ¨ .Ž M9.. Les coefficients yi, j , y k, l , ys, t , yi, l , y k, j de N sont aussi des coefficients de N9 et leur position relative est la meme ˆ que dans N. Par l’hypothese de recurrence appliquee ` ´ ´ aux matrices M9 et N9, on peut affirmer que yi, j et y k, l verifient les regles de commutation Ža., Žb. ou Žc. ´ ´ lorsque y k, l precede strictement y dans N9 Žet donc dans N . et les ´` s, t Ž . Ž . Ž . regles de commutation a , b ou d lorsque ys, t precede ´ ´ ` y k, l dans N9 Žet donc dans N ., ce qui acheve la demonstration. ` ´

QUOTIENTS PREMIERS DE

Oq Ž m nŽ k ..

543

III.3. Quotients premiers de Oq Ž m nŽ k .. Considerons, comme dans le paragraphe III.2, un corps gauche F dont ´ le centre est une extension de k, et M s Ž x i, j .1 F i, jF n une matrice carree ´ d’ordre n ` a coefficients dans F. Soit A la sous-k-algebre de F engendree ` ´ par les x i, j . A est integre ` puisque F est un corps gauche. III.3.1. Proprietes ´ ´ de l’anneau A PROPOSITION III.3.1.1. Si M est Ž s, t .-q-quantique ŽŽ s, t . g  1, . . . , n4 =  1, . . . , n4., alors l’anneau A est noetherien. Il admet donc un corps de ´ fractions FracŽ A. ; F. Demonstration. Notons R la sous-algebre ´ ` de Oq Ž m nŽ k .. engendree ´ par Ž . Ž . Ž . w x les indeterminees X pour 1, 1 F i, j F s, t . On sait 3 que R est ´ ´ i, j une extension de Ore iteree de k. C’est donc un anneau noetherien. ´´ ´ Soit B la sous-algebre de A engendree ` ´ par les coefficients x i, j de M pour Ž1, 1. F Ž i, j . F Ž s, t .. Puisque M est Ž s, t .-q-quantique, il existe un tel que w Ž X i, j . s x i, j homomorphisme surjectif w : R ª B de k-algebres ` pour Ž1, 1. F Ž i, j . F Ž s, t .. Par suite, l’anneau B est noetherien. ´ Pour Ž k, l . g  1, . . . , n4 =  1, . . . , n4 tel que Ž k, l . G Ž s, t ., notons Bk, l la sous-algebre ` de A engendree ´ par les x i, j pour Ž1, 1. F Ž i, j . F Ž k, l .. On a alors Bs, t s B, et Bs, t est noetherien. ´ Supposons Bk, l noetherien avec Ž s, t . F Ž k, l . - Ž n, n., et soit Ž k9, l9. le ´ successeur de Ž k, l . dans l’ensemble totalement ordonne ´ 1, . . . , n4 =  1, . . . , n4 . Si x k 9, l9 s 0, on a Bk 9, l9 s Bk, l , et Bk 9, l9 est noetherien. ´ Supposons x k 9, l9 / 0. Puisque M est Ž s, t .-q-quantique, on a, pour Ž1, 1. F Ž i, j . F Ž k, l ., x k 9, l9 x i, j xy1 ² : k 9, l9 s l x i, j avec l g q s le sousgroupe multiplicatif de k _  04 engendre que Bk, l est ´ par q. On en deduit ´ stable par l’automorphisme interieur s de F associe ´ ´ `a x k 9, l9 , et son inverse. Considerant alors s comme un automorphisme de Bk, l , il existe ´ un homomorphisme d’anneaux w : Bk, l w X; s x ª F qui induit l’identite ´ sur Bk, l et transforme X en x k 9, l9. Il a pour image Bk 9, l9 qui est donc un anneau noetherien puisque Bk, l w X; s x est noetherien. ´ ´ On en deduit, par recurrence, que Bk, l est noetherien quel que soit ´ ´ ´ Ž k, l . entre Ž s, t . et Ž n, n.. Donc A s Bn, n est noetherien. ´ PROPOSITION III.3.1.2. Supposons que M est Ž s, t .-q-quantique ŽŽ s, t . g  1, . . . , n4 =  1, . . . , n4. a¨ ec Ž s, t . ) Ž1, 1.. Posons N s fŽ n, s, t .Ž M . s Ž yi, j .1 F i, jF n , et notons B la sous-k-algebre ` de F engendree ´ par les yi, j . B admet un corps de fractions FracŽ B . qui coıncide a¨ ec FracŽ A.. ¨ Demonstration. N est Ž s9, t9.-q-quantique ou ´ ` Ž s9, t9. est le plus grand  4  4 Ž de 1, . . . , n = 1, . . . , n tel que s9, t9. - Ž s, t . Žprop. III.2.3.1.. ´element ´

544

G. CAUCHON

Donc, par la proposition III.3.1.1, B admet un corps de fractions FracŽ B . ; F. Si x s, t s 0, on a N s M, donc B s A, et donc FracŽ B . s FracŽ A.. Supposons donc x s, t / 0. Par definition, tous les yi, j Ž1 F i, j F n. apparti´ ennent ` a FracŽ A.. On a donc FracŽ B . ; FracŽ A.. Pour montrer l’egalite ´ ´ de ces deux corps, il suffit de montrer que tous les x i, j Ž1 F i, j F n. appartiennent ` a FracŽ B .. Si x i, j n’est pas au nord-ouest de x s, t , on a x i, j s yi, j g FracŽ B .. Si x i, j est au nord-ouest de x s, t , on a: yi , j s det qy1

ž

xi, j x s, j

x i , t y1 x s x i , j y qy1 x i , t x s, j xy1 s, t . x s, t s, t

/

Comme x i, t , x s, j et x s, t ne sont pas au nord-ouest de x s, t , cette ´ egalite ´ s’ecrit ´ encore: x i , j s yi , j q qy1 yi , t ys, j yy1 s, t g Frac Ž B . , ce qui acheve ` la demonstration. ´ PROPOSITION III.3.1.3. Supposons que M soit q-quantique simplifiee ´ et que q ne soit pas une racine de l’unite. ´ Alors, ou bien FracŽ A. est un corps commutatif extension de k, ou bien il est isomorphe a ` un corps gauche de la forme K Q Ž Y1 , . . . , Ym . ou` K est un corps commutatif extension de k, m un entier entre 1 et n2 , et Q s Ž u i, j .1 F i, jF m une matrice carree ´ d’ordre m a` coefficients u i j dans ² q : s  q r < r g Z4 , et ¨ ´ erifiant les conditions ŽQ1. et ŽQ2. du I. Demonstration. Si tous les x i, j Ž1 F i, j F n. sont nuls, on a A s k, ´ d’ou le resultat. Supposons qu’il n’en soit pas ainsi et apelons Z l’ensem` ´ ble des x i, j non nuls. Posons Z s  z1 , . . . , z l 4 Ž1 F l F n2 .. Puisque la matrice M est q-quantique simplifiee, ´ on a, quels que soient les entiers i et j entre 1 et l, zi z j s li j z j zi

Ž 1.

avec l i g ² q : Ž l i j g  1, q, qy1 4.. Les z i ´ etant non nuls, la matrice L s Ž l i j .1 F i, jF l verifie Ž . les conditions Q1 et ŽQ2. du I. On deduit des ´ ´ relations Ž1., l’existence d’un homomorphisme de k-algebres w : R s ` kL w Z1 , . . . , Zl x ª F tel que, pour 1 F i F l, w Ž Zi . s z i . On a Im w s A et, puisque A est integre, on a A , RrP ou ` ` P est un  4 ideal premier de R. Le sous-groupe V de k _ 0 engendre par les l i j est ´ ´ contenu dans ² q :. Comme q n’est pas une racine de l’unite, il ´ est donc sans torsion, et la proposition resulte immediatement du theoreme ´ ´ ´ ` I.1.

QUOTIENTS PREMIERS DE

Oq Ž m nŽ k ..

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III.3.2. Application a ` Oq Ž m nŽ k .. THEOREME ´ ` III.3.2.1. Supposons que q ne soit pas une racine de l’unite, ´ et Ž Ž .. considerons un ideal premier P de l’anneau R s O m k . ´ ´ q n Alors Ž1. L’anneau RrP est noetherien ´ et integre. ` Ž2. Ou bien FracŽ RrP . est un corps commutatif extension de k, ou bien FracŽ RrP . , K Q Ž Y1 , . . . , Ym . ou ` K est un corps commutatif extension de k, m un entier entre 1 et n2 , et Q s Ž u i, j .1 F i, jF m une matrice carree ´ d’ordre m a ` coefficients u i, j dans ² q : s  q r < r g Z4, et ¨ ´erifiant les conditions ŽQ1. et ŽQ2. du I. Ž1. Voir le paragraphe III.1. Demonstration. ´ Ž2. Posons F s FracŽ RrP .. C’est un corps gauche dont le centre est une extension de k. Par definition, R est une k-algebre ´ ` associative unitaire engendree ´ par n2 indeterminees ´ ´ X i j Ž1 F i, j F n., et la matrice X s Ž X i, j .1 F i, jF n est q-quantique. Soit w : R ª A s RrP l’homomorphisme canonique. Posons, pour 1 F i, j F n, x i, j s w Ž X i j ., de sorte que la matrice M s Ž x i j .1 F i, jF n est une matrice carree ´ d’ordre n, q-quantique, `a coefficients dans F, et que A est la sous-k-algebre ` de F engendree ´ par les x i, j . Il resulte des propositions III.2.3.1 et III.3.1.2 qu’il existe une matrice ´ N s Ž yi, j .1 F i, jF n , carree ´ d’ordre n `a coefficients dans F, q-quantique simplifiee, B de F engendree ´ et telle que la sous-k-algebre ` ´ par les yi, j verifie FracŽ B . s FracŽ A. s F. On conclut alors par la proposition ´ III.3.1.3.

REFERENCES 1. J. Alev et F. Dumas, Sur le corps de fractions de certaines algebres de Weyl quantiques, ` J. Algebra, a paraıtre. ˆ 2. G. Cliff, The division ring of quotients of the co-ordinate ring of the quantum general linear group, preprint, 1992. 3. K. R. Goodearl and E. S. Letzter, Prime factor algebras of the coordinate ring of quantum matrices, preprint, 1991. 4. D. A. Jordan, A simple localization of the quantized Weyl algebra, preprint, 1992. 5. D. Krob et B. Leclerc, Minor identities for quasi-determinants and quantum determinants, preprint, 1993. 6. G. Maltsiniotis, ‘‘Calcul differentiel quantique. Groupe de travail,’’ Universite ´ ´ Paris VII, 1992. 7. J. C. McConnell et J. J. Pettit, Crossed products and multiplicative analogues of Weyl algebras, J. London Math. Soc. Ž 2 . 38 Ž1988., 47]55. 8. S. P. Smith, Quantum groups: An introduction and survey for ring theorists, in ‘‘Noncommutative Rings’’ ŽS. Montgomery and L. Small, Eds.., pp. 131]178, Math. Sci. Res. Inst. Publ., Vol. 24, Springer-Verlag, New York, 1992.